Công Thức Tính Khoảng Cách Từ 1 Điểm Đến 1 Đường Thẳng, Cách Tính Khoảng Cách Từ 1 Điểm Đến 1 Đường Thẳng
Trong hình học mặt phẳng Oxy lớp 10 và hình học không gian Oxyz lớp 12 đều có dạng toán tìm khoảng cách từ điểm tới đường thẳng Δ cho trước. Đây là dạng toán tương đối đơn giản, bạn chỉ cần nhớ chính xác công thức là làm tốt. Nếu bạn quên có thể xem lại lý thuyết bên dưới, đi kèm với nó là bài tập có lời giải chi tiết tương ứng
A. Tính khoảng cách từ 1 điểm đến 1 đường thẳng trong mặt phẳng
Đây là kiến thức toán thuộc hình học lớp 10 khối THPT
1. Cơ sở lý thuyết
Giả sử phương trình đường thẳng có dạng tổng quát là Δ: Ax + By + C = 0 và điểm N( x0; y0). Khi đó khoảng cách từ điểm N đến đường thẳng Δ là:
d(N; Δ) = $\frac{{\left| {A{x_0} + b{y_0} + c} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}$ (1)
Cho điểm M( x
M; y
N) và điểm N( x
N; y
N) . Khoảng cách hai điểm này là:
MN = $\sqrt {{{\left( {{x_M} – {x_N}} \right)}^2} + {{\left( {{y_M} – {y_N}} \right)}^2}} $ (2)
Chú ý: Trong trường hợp đường thẳng Δ chưa viết dưới dạng tổng quát thì đầu tiên ta cần đưa đường thẳng d về dạng tổng quát.
Bạn đang xem: Tính khoảng cách từ 1 điểm đến 1 đường thẳng
2. Bài tập có lời giải
Bài tập 1. Cho một đường thẳng có phương trình có dạng Δ: – x + 3y + 1 = 0. Hãy tính khoảng cách từ điểm Q (2; 1) tới đường thẳng Δ.
Lời giải chi tiết
Khoảng cách từ điểm Q tới đường thẳng Δ được xác định theo công thức (1):
d(N; Δ) = $\frac{{\left| { – 1.2 + 3.1 + 1} \right|}}{{\sqrt {{{\left( { – 1} \right)}^2} + {3^2}} }} = \frac{{\sqrt {10} }}{5}$
Bài tập 2. Khoảng cách từ điểm P(1; 1) đến đường thẳng Δ: $\frac{x}{3} – \frac{y}{2} = 5$
Lời giải chi tiết
Ta đưa phương trình $\frac{x}{3} – \frac{y}{2} = 5$ 2x – 3y = 30 2x – 3y – 30 = 0 (*)
Phương trình (*) là dạng tổng quát.
Khoảng cách từ điểm P(1; 1) đến đường thẳng Δ dựa theo công thức (1). Thay số:
d(P; Δ) = $\frac{{\left| {2.1 + \left( { – 3} \right).1 – 30} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {{\left( { – 3} \right)}^2}} }}$ = 8,6
Bài tập 3. Khoảng cách từ điểm P(1; 3) đến đường thẳng Δ: $\left\{ \begin{array}{l} x = 2t + 3\\ y = 3t + 1 \end{array} \right.$
Lời giải chi tiết
Xét phương trình đường thẳng Δ, thấy:
Đường thẳng Δ đi qua điểm Q( 3; 1)Vecto chỉ phương là $\overrightarrow u $ = ( 2; 3 ) nên vecto pháp tuyến là $\overrightarrow n $ = ( 3; – 2 )Phương trình Δ đưa về dạng tổng quát: 3(x – 3) – 2(y – 1) = 0 3x – 2y – 7 = 0
Khoảng cách từ điểm P(1; 3) đến đường thẳng Δ: d(P; Δ) = $\frac{{\left| {3.1 + \left( { – 2} \right).3 – 7} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {{\left( { – 2} \right)}^2}} }}$ = 2,77
B. Tính khoảng cách từ 1 điểm đến 1 đường thẳng trong không gian Oxyz
Đây là kiến thức hình học không gian thuộc toán học lớp 12 khối THPT:
1. Cơ sở lý thuyết
Giả sử đường thẳng Δ có phương trình dạng Ax + By + Cz + d = 0 và điểm N( x
N; y
N; z
N). Hãy xác định khoảng cách từ N tới Δ?
Phương pháp
Bước 1. Tìm điểm M( x0; y0; z0) ∈ ΔBước 2: Tìm vecto chỉ phương ${\overrightarrow u }$ của ΔBước 3: Vận dụng công thức d(N; Δ) = $\frac{{\left| {\left< {\overrightarrow {MN} ,\overrightarrow u } \right>} \right|}}{{\left| {\overrightarrow u } \right|}}$2. Bài tập có lời giải
Bài tập 1. Một điểm A(1;1;1) không thuộc đường thẳng Δ: $\frac{x}{1} = \frac{{y – 1}}{2} = \frac{{z + 1}}{1}$. Hãy tính khoảng cách từ điểm đến đường thẳng.
Lời giải chi tiết
Từ phương trình đường thẳng Δ ta suy ra vecto chỉ phương: ${\vec u_\Delta }$ = (1;2;1)
Lấy điểm B( 0; 1; -1)∈ Δ => $\overrightarrow {AB} $ = ( – 1;0; – 2) => $<\overrightarrow {AB} ,\vec u>$ = (4; – 1; – 2).
Xem thêm: Hướng dẫn cách đăng ký mạng 1 ngày của viettel với 2gb/ngày nhanh nhất
Khi này: d(A; Δ) = $\frac{{\left| {\left< {\overrightarrow {AB} ,\vec u} \right>} \right|}}{{|\vec u|}} = \frac{{\sqrt {14} }}{2}.$
Bài tập 2. Xét một hệ trục tọa độ Oxyz có đường thẳng Δ: $\frac{x}{1} = \frac{{y – 1}}{2} = \frac{{z + 1}}{1}$ và 1 điểm có toạn độ A(1; 1; 1). Gọi M là điểm sao cho M ∈ Δ. Tìm giá trị nhỏ nhất của AM?
Lời giải chi tiết
Khoảng cách AM nhỏ nhất khi AM ⊥ Δ => $A{M_{\min }} = d(A;\Delta ).$
Đường thẳng Δ: $\frac{x}{1} = \frac{{y – 1}}{2} = \frac{{z + 1}}{1}$ => vtcp ${\vec u_\Delta }$ = (1;2;1).
Lấy điểm B( 0; 1; -1)∈ Δ => $\overrightarrow {AB} $ = ( – 1;0; – 2) => $<\overrightarrow {AB} ,\vec u>$ = (4; – 1; – 2).
Khi này ta áp dụng công thức tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng: d(A; Δ) = $\frac{{\left| {\left< {\overrightarrow {AB} ,\vec u} \right>} \right|}}{{|\vec u|}} = \frac{{\sqrt {14} }}{2}$$\Rightarrow A{M_{\min }} = \frac{{\sqrt {14} }}{2}.$
Bài tập 3. Một đường thằng Δ: $\Delta :\frac{x}{1} = \frac{{y – 1}}{2} = \frac{{z + 1}}{1}$ và hai điểm M( 1; 1; 1), N( 0 ; 1;-1) nằm trong không gian Oxyz. Giả sử hình chiếu của M xuống đường thẳng Δ là P. Hãy tính diện tích của tam giác MPB
Lời giải chi tiết
Từ phương trình đường thẳng Δ: $\Delta :\frac{x}{1} = \frac{{y – 1}}{2} = \frac{{z + 1}}{1}$ ta suy ra vecto chỉ phương của đường thẳng có dạng ${\vec u_\Delta }$ = (1; 2; 1)
Chọn điểm Q ( 2; 5; 1) ∈ Δ => $\overrightarrow {MQ} $ = (1; 4; 0) => $\left< {\overrightarrow {MQ} ,\overrightarrow u } \right>$ = (4; -1; – 2).
Lúc đó: d(M; Δ) = $\frac{{\left| {\left< {\overrightarrow {MQ} ,\vec u} \right>} \right|}}{{|\vec u|}} = \frac{{\sqrt {14} }}{2}$
$ \Rightarrow MP = \frac{{\sqrt {14} }}{2}.$
Ta lại thấy N ∈ Δ => ΔMNP vuông tại P => $\sqrt {M{N^2} – M{P^2}} = \frac{{\sqrt 6 }}{2}$
Vậy $S = \frac{1}{2}MP.PN = \frac{{\sqrt {21} }}{4}.$
Hy vọng rằng bài viết tìm khoảng cách từ 1 điểm đến 1 đường thẳng này sẽ giúp ích cho bạn trong học tập cũng như thi cử. Đừng quên truy cập toanhoc.org để có thể cập nhật cho mình thật nhiều tin tức hữu ích nhé.
Tóm tắt lý thuyết, công thức tính khoảng cách từ 1 điểm đến đường thẳng, câu hỏi trắc nghiệm có hướng dẫn giải chi tiết.
Cho điểm
Cách 1: Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc H của A trên d. Độ dài AH là khoảng cách từ A đến d
Cách 2: Sử dụng công thức tính khoảng cách
Góc trong hình hình học Oxyz
Góc giữa hai véc tơ
Góc giữa hai đường thẳng
Cho 2 đường thẳng d1 và d2 có lần lượt 2 véc tơ chỉ phương là thì góc giữa 2 đường thẳng là: Góc giữa hai mặt ...
Các dạng lập phương trình đường thẳng thường gặp
Các dạng lập phương trình đường thẳng thường gặp trong hình học Oxyz. Bài tập trắc nghiệm.Để viết phương trình đường thẳng cần phải có - 1 véc tơ chỉ phương là ...
PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNGPhương trình mặt phẳng trong hệ trục Oxyz. Cách lập phương trình mặt phẳng cơ bản. Véc tơ pháp tuyến của phương trình mặt phẳng cho trước
Véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng Véc tơ pháp tuyến ...
Phương pháp tìm giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng
Cách tìm giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng trong hệ trục Oxyz. Bài tập trắc nghiệm minh họa. Cho đường thẳng d có phương trình và mặt phẳng (P): ...
Tọa độ hình chiếu vuông góc trên đường thẳng, mặt phẳnghttps://youtu.be/MI43x_y
HL-MHình chiếu vuông góc của điểm A trên mặt phẳng (P)Phương pháp tìm tọa độ hình chiếu H của A trên (P)- Lập phương trình đường thẳng AH đi qua ...
